高速移动的圆形物体会不会在两帧之间相撞：十组相对运动的最近距离（实例11）

只检查一帧开头和结尾，可能漏掉中间发生的接触。两个圆形物体都在运动时，可以先减去其中一个的运动，把问题变成一个相对位置沿直线移动的圆。

固定规则与输入

时间范围零至一，初始相对位置为p，相对位移为v，两圆半径和为R。考察p加tv的长度平方，取整个时间段最小值，再与R平方比较，等于也算接触。

十组独立实验，时间均为零至一；最近时刻不等于首次接触时刻。

逐步观察结果

实验1相对初位[-10, 0]、位移[20, 0]、半径和3，最近时刻1/2，该时刻相对位置['0', '0']，距离平方0；两端距离平方[100, 100]，整个时段接触True。

实验2相对初位[4, 2]、位移[0, 0]、半径和2，最近时刻0，该时刻相对位置['4', '2']，距离平方20；两端距离平方[20, 20]，整个时段接触False。

实验3相对初位[3, -5]、位移[-10, -9]、半径和4，最近时刻0，该时刻相对位置['3', '-5']，距离平方34；两端距离平方[34, 245]，整个时段接触False。

实验4相对初位[5, 7]、位移[-6, -6]、半径和2，最近时刻1，该时刻相对位置['-1', '1']，距离平方2；两端距离平方[74, 2]，整个时段接触True。

实验5相对初位[9, 7]、位移[-12, -4]、半径和2，最近时刻17/20，该时刻相对位置['-6/5', '18/5']，距离平方72/5；两端距离平方[130, 18]，整个时段接触False。

实验6相对初位[2, -7]、位移[-8, -11]、半径和4，最近时刻0，该时刻相对位置['2', '-7']，距离平方53；两端距离平方[53, 360]，整个时段接触False。

实验7相对初位[-3, -5]、位移[2, 1]、半径和4，最近时刻1，该时刻相对位置['-1', '-4']，距离平方17；两端距离平方[34, 17]，整个时段接触False。

实验8相对初位[4, 3]、位移[-6, -5]、半径和2，最近时刻39/61，该时刻相对位置['10/61', '-12/61']，距离平方4/61；两端距离平方[25, 8]，整个时段接触True。

实验9相对初位[-9, 7]、位移[3, -5]、半径和3，最近时刻1，该时刻相对位置['-6', '2']，距离平方40；两端距离平方[130, 40]，整个时段接触False。

实验10相对初位[7, -8]、位移[0, -5]、半径和5，最近时刻0，该时刻相对位置['7', '-8']，距离平方113；两端距离平方[113, 218]，整个时段接触False。

第一组专门展示两端都分离、中间却相遇的情况，第二组检验相对静止。距离平方可以直接比较，避免为判断是否接触而引入不必要的开方。

独立复核

长度平方是二次函数。若相对位移不为零，候选时刻为负的p与v点积除以v的长度平方，再限制到零至一。复核时应比较候选点与两个端点，并区分起初就重叠与途中才接触。

复核时先保留本例输入，再自己写出中间状态。若结果不同，应从最早出现差异的位置检查，尤其留意边界是否包含、索引从哪里开始、取整何时发生，以及是否使用了尚未更新的旧状态。计算得到的结论仅适用于已经说明的规则，修改规则后需要重新验证。

适用范围

这个模型只处理匀速圆形轮廓，不计算碰撞后速度，也不求首次接触的精确时间。加速、旋转或不规则轮廓需要其他处理，不能直接把本例的最近时刻当成碰撞发生时刻。